Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，过F₂的直线l₁与C₁交于A，B两点，且△ABF₁的周长为4

2

，l₁的倾斜角为α．
（I）当l₁垂直于x轴时，|AF2|+|BF2|=2

2

|AF2|•|BF2|
①求椭圆C₁的方程；
②求证：对于?α∈[0，π），总有|AF2|+|BF2|=2

2

|AF2|•|BF2|．
（II）在（I）的条件下，设直线l₂与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l₂的垂线交l₂于E，求E的轨迹方程C₂，并比较C₂与C₁通径所在直线的位置关系．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，4a=4

2

?a=

2

，当斜率不存在时，l₁：x=c，

1

|AF2|

+

1

|BF2|

=

2a

b2

=

2 2

b2

=2

2

?b=1，C1：

x2

2

+y2=1；当α≠

π

2

时，设l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由焦半径公式可得，|AF2|=

2

-

2

2

x1，|BF2|=

2

-

2

2

x2，故

1

|AF2|

+

1

|BF2|

=

4 2 - 2 (x1+x2)

4-2(x1+x2)+x1x2

．由此能导出对于?α∈[0，π），总有|AF2|+|BF2|=2

2

|AF2|•|BF2|．
（II）当斜率存在时，设l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），

OC

•

OD

=x3x4+y3y4=(t2+1)x3x4+tb(x3+x4)+b2，

y=tx+b x2+2y2=2

?(1+2t2)x2+4tbx+2b2-2=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（I）①由题意可得，4a=4

2

?a=

2

当斜率不存在时，l₁：x=c

1

|AF2|

+

1

|BF2|

=

2a

b2

=

2 2

b2

=2

2

?b=1
故C1：

x2

2

+y2=1，
②当α≠

π

2

时，设l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由焦半径公式可得，|AF2|=

2

-

2

2

x1，|BF2|=

2

-

2

2

x2
故

1

|AF2|

+

1

|BF2|

=

4 2 - 2 (x1+x2)

4-2(x1+x2)+x1x2

，

y=k(x-1) x2+2y2=2

?(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

，
故

1

|AF2|

+

1

|BF2|

=

4 2 - 4 2 k2 1+2k2

4- 8k2 1+2k2 + 2k2-2 1+2k2

=

4 2 +4 2 k2

2k2+2

=2

2

故|AF2|+|BF2|=2

2

|AF2|•|BF2|成立
当α=

π

2

时，由题意成立
故对于?α∈[0，π），总有|AF2|+|BF2|=2

2

|AF2|•|BF2|．
（II）当斜率存在时，设l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）

OC

•

OD

=x3x4+y3y4=(t2+1)x3x4+tb(x3+x4)+b2

y=tx+b x2+2y2=2

?(1+2t2)x2+4tbx+2b2-2=0，
△＞0?2t²-b²+1＞0

x3+x4=- 4tb 1+2t2 x3x4= 2b2-2 1+2t2

故

OC

•

OD

=

-2t2+3b2-2

1+2t2

=0?3b2-2=2t2，
原点O到l₂的距离为d=

|b|

1+t2

=

|b|

3 2 b2

=

2 3

为定值
故E的轨迹方程为x2+y2=

2

3

(y≠0)，
当斜率不存在时，解得C(

2 3

，0)，D(-

2 3

，0)或C(-

2 3

，0)，D(

2 3

，0)均在E上
综上可得，E的轨迹方程C₂为x2+y2=

2

3

，
C₁通径所在的方程为x=±1
故两者相离．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用椭圆性质，注意合理地进行等价转化．