Question

已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)经过 点B(0，

3

)，且离心率为

1

2

，右顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂；椭圆C₂以坐标原点为中心，且以F₁F₂为短轴端，上顶点为D．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂交于M、N、P、Q四点，当AD∥F₂B时，求四边形MNPQ的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆经过点B(0，

3

)，且离心率为

1

2

，建立方程，求得几何量，从而可得椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）C₂的短轴长为2，设方程为

y2

m2

+x2=1（m＞1），利用AD∥F₂B，可得C₂的方程，与椭圆方程联立，根据对称性，可得四边形MNPQ的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆经过点B(0，

3

)，且离心率为

1

2

，∴e=

c

a

=

1

2

，b=

3

∴a=2，∴椭圆C₁的方程为

x 2

4

+

y 2

3

=1；
（Ⅱ）C₂的短轴长为2，设方程为

y2

m2

+x2=1（m＞1）
∴D（0，m），A）2，0），F₂（1，0）
∵AD∥F₂B，∴m=2

3

∴C₂的方程为

y2

12

+x2=1
设N（x₁，y₁），则

y12 12 +x12=1 x1 2   4 + y1 2   3 =1

，解得

x12= 4 5 y12= 12 5

，∴|x₁y₁|=

4 3

5

∴根据对称性，可得四边形MNPQ的面积为

16 3

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查面积的计算，考查学生的计算能力，确定椭圆的方程是关键．