Question

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：

x2

4

+y2=1．
（1）若椭圆C2：

x2

16

+

y2

4

=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：

x2

a2

+

y2

b2

=1和Mλ：

x2

a2

+

y2

b2

=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆M_λ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）

Answer 1

分析：（1）分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比．
（2）设出椭圆C_b的方程，直线l_MN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线l_MN的方程，根据直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围．
（3）作法：过原点作直线y=kx（k≠1），交椭圆M和椭圆M_λ于点E和点F，则△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ．

解答：解：（1）椭圆C₂与C₁相似． 因为椭圆C₂的特征三角形是腰长为a=4，底边长为2c=4

3

的等腰三角形，
而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为2

3

的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2．
（2）椭圆C_b的方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1(b＞0)，
设l_MN：y=-x+t，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点为（x₀，y₀），
则

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0，则x0=

x1+x2

2

=

4t

5

，y0=

t

5

．
因为中点在直线y=x+1上，所以有 

t

5

=

4t

5

+1，t=-

5

3

，即直线l_MN的方程为：lMN：y=-x-

5

3

，
由题意可知，直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，
即方程5x2-8(-

5

3

)x+4[(-

5

3

)2-b2]=0有两个不同的实数解，
所以△=(

40

3

)2-4×5×4×(

25

9

-b2)＞0，即b＞

5

3

．
（3）作法：过原点作直线y=kx（k≠1），交椭圆M和椭圆M_λ于点E和点F，则△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两点关于直线对称的性质，求直线MN的方程是解题的难点．