Question

（2013•广州一模）已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），点A（2，3）在椭圆C₁上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于B、C两点，抛物线C₂在点B，C处的切线分别为l₁，l₂，且l₁与l₂交于点P．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在满足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）设出点B，C的坐标，利用A，B，C三点共线即可得出坐标之间的关系，利用导数的几何意义可得切线的斜率，在得出切线的方程，即可得出交点P的坐标代人上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程．由|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，则点P在椭圆C₁上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C₁的内部一点（3，0），即可判断出其交点个数．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意可得

22 a2 + 32 b2 =1 a2=b2+4

解得

a2=16 b2=12

．
∴椭圆C₁的方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）设点B(x1，

1

4

x

2 1

)，C(x2，

1

4

x

2 2

)，则

BC

=(x2-x1，

1

4

(

x

2 2

-

x

2 1

))，

BA

=(2-x1，3-

1

4

x

2 1

)，
∵A，B，C三点共线，∴

BC

∥

BA

．
∴(x2-x1)(3-

1

4

x

2 1

)=

1

4

(

x

2 2

-

x

2 1

)(2-x1)，化为2（x₁+x₂）-x₁x₂=12．①
由x²=4y，得y′=

1

2

x．∴抛物线C₂在点B处的切线方程为y-

1

4

x

2 1

=

x1

2

(x-x1)，化为y=

x1

2

x-

1

4

x

2 1

．②
同理抛物线C₂在点C处的切线方程为y=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

．③
设点P（x，y），由②③得

x1

2

x-

1

4

x

2 1

=

x2

2

x-

1

4

x

2 2

，而x₁≠x₂，∴x=

1

2

(x1+x2)．
代人②得y=

1

4

x1x2，于是2x=x₁+x₂，4y=x₁x₂代人①得4x-4y=12，即点P的轨迹方程为y=x-3．
若|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，则点P在椭圆C₁上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C₁的内部一点（3，0），
∴直线y=x-3与椭圆C₁有两个交点，
∴满足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的点P有两个（不同于点A）．

点评：本题主要考查椭圆、抛物线曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归于转化的数学数学方法，以及推理论证能力、计算能力、创新意识．