Question

设函数f（x）=|x-1+a|+|x-a|
（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；
（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值不等式，即可证明结论；
（2）分类讨论，利用f（1）＜2，求a的取值范围．

解答： （1）证明：f（x）=|x-1+a|+|x-a|≥|（x-1+a）-（x-a）|=|2a-1|
∵a≥2，∴|2a-1|≥3，
∴f（x）≥3；
（2）解：f（1）=|a|+|1-a|
a≤0时，f（1）=|a|+|1-a|=1-2a
∵f（1）＜2，∴1-2a＜2，∴a＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜a≤0；
0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；
a＞1时，f（1）=|a|+|1-a|=2a-1
∵f（1）＜2，∴2a-1＜2，∴a＜

3

2

，
∴1＜a＜

3

2

综上，a的取值范围是（-

1

2

，

3

2

）．

点评：本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．