Question

如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为

 

时，盒子容积最大，最大容积是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：设小正方形的边长为xcm，盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x=4x³-26x²+40x，由此利用导数性质能求出小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm³．

解答： 解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，

5

2

）；
盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x=4x³-26x²+40x，
对y求导，得y′=12x²-52x+40，
令y′=0，得12x²-52x+40=0，
解得：x=1，x=

10

3

（舍去），
所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；
当1＜x＜

5

2

时，y′＜0，函数y单调递减；
所以，当x=1时，函数y取得最大值18；
所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm³．
故答案为：1cm，18cm³．

点评：本题考查盒子容积最大时小正方形的边长和盒子容积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．