Question

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(4+

20

P

)元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，y=(4+

20

p

)p-x-(10+2p)，--------------------------（3分）
将p=3-

2

x+1

代入化简得：y=16-

4

x+1

-x（0≤x≤a）．-----------------------（6分）
（Ⅱ）y′=-1-

-4

(x+1)2

=

-(x+1)2+4

(x+1)2

=-

x2+2x-3

(x+1)2

=-

(x+3)(x-1)

(x+1)2

当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数y=16-x-

4

x+1

在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数y=16-x-

4

x+1

在（1，a）上单调递减
促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；----------------------------------（9分）
当a＜1时，因为函数y=16-x-

4

x+1

在（0，1）上单调递增y=16-x-

4

x+1

在[0，a]上单调递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大-------------------------------（12分）
（注：当a≥1时，也可：y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 ×(x+1)

=13，
当且仅当

4

x+1

=x+1，即x=1时，上式取等号）

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．