Question

如图所示,已知四棱锥的底面是菱形,侧面PDA和侧面PDC所成的二面角为120°,且都垂直于底面,另两个侧面与底面所成的角都等于60°.

(1)求异面直线PB与AC所成的角;

(2)求直线PC与底面ABCD所成的角.

Answer 1

解:如图,作DE⊥BC,垂足为E,连结PE、AC,

∵平面PAD⊥平面AC,平面PDC⊥平面AC,平面PDA∩平面PDC=PD,

∴PD⊥平面AC,∠PED是二面角PBCD的平面角,∠PED=60°,

∠ADC是二面角APDC的平面角,∠ADC=120°.

(1)由于AC⊥BD,

∴AC⊥PB,而AC、PB所成角是90°.

(2)∠PCD即为PC与底面ABCD所成角,设PD=h,则在Rt△PDE中,DE=PD·cot60°=,

∵四边形ABCD是菱形,∴∠DCE=60°.

于是,DC=,

∴tan∠PCD=.

∴PC与底面ABCD所成角为arctan.