Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，侧面PBC⊥底面ABCD，点F在线段AP上，且满足

PF

=λ

PA

．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）当λ取何值时，直线DF与平面ABCD所成角为30°？

Answer 1

分析：（1）先证明PO⊥平面ABCD，再建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0，可证得PA⊥BD；
（2）利用平面ABCD的一个法向量

n

=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°，根据向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．
由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，
∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，

3

）
∴

BD

=(-2，-1，0)，

PA

=(1，-2，-

3

)
∴

BD

•

PA

=-2+2+0=0
∴

BD

⊥

PA

∴PA⊥BD；
（2）解：∵

PF

=λ

PA

，

PA

=(1，-2，-

3

)
∴

PF

=(λ，-2λ，-

3

λ)
∵

DP

=(1，1，

3

)
∴

DF

=

DP

+

PF

=(1+λ，1-2λ，

3

-

3

λ)
∵平面ABCD的一个法向量

n

=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°
∴sin30°=|

DF • n

| DF || n |

|
∴4λ²-16λ+7=0
∴λ1=

1

2

，λ2=

7

2

（舍去）
∴λ=

1

2

时，直线DF与平面ABCD所成角为30°．

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查李建勇空间向量解决立体几何问题，属于中档题．