Question

（本题满分12分）如图所示，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=.

（1）求证：MN⊥平面ABN；（2）求二面角A—BN—C的余弦值

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析； （2）所求的二面角的余弦值为。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出向量 ，计算从而证明∴ 即可证明MN⊥平面ABN；

（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的数量积求得二面角A-BN-C的余弦值．

解：法一 ：以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴的空间直角坐标系，

                      则依题意可知相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），

D（0，1，0），S（0，0，1）……………………2分

…………………………4分

∴MN⊥平面ABN.………………………………………6分

（2）设平面NBC的法向量且又易知

令a=1，则……………………………………9分

显然，就是平面ABN的法向量.

………………………………………10分

………………………………………12分

法二：（1）由题意知连则可求，则

…………………………6分

 （2）因为，在平面内作且，

又在，所以，

且  故所求的二面角的余弦值为………………………12分

考点：本题主要考查向量法证明直线与平面的垂直，二面角的求法，考查学生计算能力，逻辑思维能力，是中档题．

点评：解决该试题的关键是合理的建立空间直角坐标系，然后准确的表示点的坐标，和法向量的坐标，进而得到垂直的判定和二面角的平面角的求解。