Question

如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1．
（1）求证：面PAD⊥面PCD；
（2）求直线PC与面PAD所成角的余弦值；
（3）求AC与PB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定与性质，证出CD⊥平面PAD，结合CD是平面PCD内的直线，即可得到平面PAD⊥平面PCD；
（2）由（1）知∠CPD就是线PC与面PAD所成角．Rt△PCD中求出PC的长，再利用直角三角形中三角函数的定义，即可得到直线PC与面PAD所成角的余弦值；
（3）分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，可得A、B、C、P各点的坐标，从而得到向量

AC

、

PB

的坐标，由空间向量的夹角公式算出

AC

、

PB

的余弦之值，即得AC与PB所成的角的余弦值．

解答：解：（1）∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA
∵PA、AD是平面PAD内的相交直线，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PAD⊥面PCD；
（2）∵CD⊥平面PAD，得PD是PC在平面PAD内的射影
∴∠CPD就是线PC与面PAD所成角
∵CD=1，PD=

2

，
∴Rt△PCD中，PC=

CD2+PD2

=

3

，cos∠CPD=

PD

PC

=

6

3

，
即直线PC与面PAD所成角的余弦值是

6

3

；
（3）分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图
可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
∴

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1）
可得|

AC

|=

2

，|

PB

|=

5

，

AC

•

PB

=1×0+1×2+0×（-1）=2
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

2

2 × 5

=

10

5

由此可得AC与PB所成的角的余弦值为

10

5

．

点评：本题给出一条侧棱与梯形底面垂直的四棱锥，求证面面垂直并求线面所成的角，着重考查了直线与平面所成的角、平面与平面垂直的判定和异面直线及其所成的角等知识，属于中档题．