向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥($\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$).则“|$\overrightarrow{a}$|＞1 是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤-1 的既不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

10．向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），则“|$\overrightarrow{a}$|＞1”是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤-1”的既不充分也不必要条件．

分析先根据向量垂直得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|²，再分别根据充分必要条件的经行判断即可．

解答解：∵向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|²，
由|$\overrightarrow{a}$|＞1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜-$\frac{1}{3}$，
故由“|$\overrightarrow{a}$|＞1”推不出“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤-1”，
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤-1，
∴-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|²≤-1，
即|$\overrightarrow{a}$|²≥3，
∴|$\overrightarrow{a}$|≥$\sqrt{3}$，
故由“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤-1”推不出“|$\overrightarrow{a}$|＞1”．
故“|$\overrightarrow{a}$|＞1”是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤-1”的既不充分也不必要条件，
故答案为：既不充分也不必要

点评本题考查了向量的数量积运算以及向量垂直的条件和充分必要条件的判断，属于中档题．

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