Question

抛物线y=x²在x=2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,抛物线的简单性质

专题：导数的综合应用

分析：首先求出抛物线在x=2处的切线方程，然后利用定积分求面积．

解答： 解：抛物线y=x²在x=2处的切线的斜率为2x|_x=2=4，所以切线为y-4=4（x-2）即y=4x-4

∫

2 0

x2dx-

∫

2 1

(4x-4)dx，此直线与x轴的交点为（1，0），
所以抛物线y=x²在x=2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积为

∫

2 0

x2dx-

∫

2 1

(4x-4)dx=

1

3

x3

|

2 0

-(2x2-4x)

|

2 1

=

2

3

；
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查了导数的几何意义的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积；属于基础题目．