Question

椭圆C：

x2

a

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

，
 （1）求椭圆的方程    
（2）若直线L过圆 x²+y²+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的定义求出a，b，即可求椭圆的方程    
（2）求出圆心坐标，根据点的对称性，利用作差法求出直线斜率即可求出直线方程．

解答： 解 （1）∵PF₁⊥PF₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

14

3

+

4

3

=6，
即a=3，
且4c²═|PF₁|²+|PF₂|²=（

4

3

）²+（

14

3

）²=

212

9

解得c²=

53

9

，
∴b²=9-

53

9

=

28

9

，
故椭圆的方程为

x2

9

+

9y2

28

=1，
（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
圆心M（-2，1），
∵A，B关于M对称，
∴

m+x 2 =-2 n+y 2 =1

，即

m+x=-4 n+y=2

，
∵A，B都在椭圆上，
∴

m2 9 + 9n2 28 =1 x2 9 + 9y2 28 =1

，
两式相减得

(m+x)(m-x)

9

+

9(n-y)(n+y)

28

=0，
即

-4

9

+

9×2

28

•

n-y

m-x

=0，
即直线AB的斜率k=

56

81

，
∴直线方程为y-1=

56

81

（x+2），
即56x-81y+193=0．

点评：本题主要考查椭圆的方程和性质，利用对称性结合作差法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．