Question

5．已知α∈（0，$\frac{\;π\;}{2}$），β∈（$\frac{\;π\;}{2}$，π），cosα=$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，则cosβ=$-\frac{{4+6\sqrt{2}}}{15}$．

Answer 1

分析 利用α的取值范围和cos²α+sin²α=1求得sinα的值．然后结合两角和与差的余弦函数公式来求cosβ的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{\;π\;}{2}$），β∈（$\frac{\;π\;}{2}$，π），
∴sinα＞0．cosβ＜0，sinβ＞0．
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosβ+$\frac{1}{3}$×$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=-$\frac{3}{5}$，
解得cosβ=$-\frac{{4+6\sqrt{2}}}{15}$．
故答案是：$-\frac{{4+6\sqrt{2}}}{15}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的运用．考查了学生基础知识的掌握．