Question

【题目】已知：向量 =（ ，0），O为坐标原点，动点M满足：| + |+| ﹣ |=4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）已知直线l1 ， l2都过点B（0，1），且l1⊥l2 ， l1 ， l2与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由：| + |+| ﹣ |=4， =（ ，0），

知动点M的轨迹是以点（ ，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，

∴c= ，a=2，

∴b=1，

∴所求的方程为 =1

（2）解：设BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k2）x2+8kx=0，

∴x1=0，x2=﹣ =xD，

∵l1⊥l2，∴以﹣ 代k，得xE=

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴|BD|=|BE|，

∴ = ，

∴|k|（k2+4）=1+4k2，①

k＞0时①变为k3﹣4k2+4k﹣1=0，∴k=1或 ；

k＜0时①变为k3+4k2+4k﹣1=0，k=﹣1或 ．

∴使得△BDE是等腰直角三角形的直线共有3组．

【解析】（1）由：| + |+| ﹣ |=4， =（ ，0），知动点M的轨迹是以点（ ，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，即可求动点M的轨迹C的方程；（2）设直线方程，求出D，E的坐标，利用△BDE是等腰直角三角形，可得|BD|=|BE|，即 = ，从而可得结论．