Question

【题目】如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A= ，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC）， ∴sinA=sinB（sinC+cosC），
∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinBsinC，
又∵C∈（0，π），故sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1．
又∵B∈（0，π），
∴ ．
（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．
又 ，由（Ⅰ）可知 ，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴当 时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为 ．

【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知 ，利用三角形面积公式可求S△ABC ， S△BDC ， 从而可求 ，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．