Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设切点坐标为（m，em） ∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）
令x=0，解得y=（1﹣m）em
过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）
令x=0，解得y=em+me﹣m
∴线段MN的中点的纵坐标为t= [（2﹣m）em+me﹣m]
t'= [﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0
∴当m=1时t取最大值
所以答案是：