Question

【题目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+ ；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣ = ， 所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（Ⅱ）证明：因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又g′（x）= ，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）= ＜ ，所以f（x）min﹣g（x）max＞ ，
所以在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+ ．
（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，
则f′（x）=a﹣ = ，
①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，
f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．
②当0＜ ＜e时，f（x）在（0， ]上单调递减，f（x）在（ ，e]上单调递增．
所以f（x）min=f（ ）=1+lna=3，a=e2 ， 满足条件．
③当 ≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，
f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），
此时函数f（x）的最小值是不是3，
综上可知存在实数a=e2 ， 使f（x）的最小值是3
【解析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（Ⅲ）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．