Question

16．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ-4cosθ=0，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-3}\end{array}\right.$（t为参数）．直线l与曲线C交于M、N两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．
（2）求三角形OMN的面积．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程化为ρ²sin²θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程，直线l的参数方程消去参数得直线l的普通方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得x²-8x+4=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出三角形OMN的面积．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin²θ-4cosθ=0，
∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x．
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t-1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t-3}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数得直线l的普通方程为x-y-2=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，消去y，得x²-8x+4=0，
∵直线l与曲线C交于M、N两点，
∴设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
∴|MN|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{{8}^{2}-4×4}$=4$\sqrt{6}$，
原点O到直线MN的距离d=$\frac{|0-0-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴三角形OMN的面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×4\sqrt{6}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程和直线的参数方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．