Question

10．双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点为F₁，F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是（-$\sqrt{6}$，-2）∪（2，$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 求得双曲线的焦点坐标，设双曲线上一点P（x，y），若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂为钝角，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，由此列不等式，注意运用P满足双曲线的方程和双曲线的范围，即可解得P点横坐标的取值范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点为F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），
设P（x，y），
可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-x-2$\sqrt{2}$，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{2}$-x，-y），
∵∠F₁PF₂为钝角，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，
∴cos∠F₁PF₂＜0，
∴（-x-2$\sqrt{2}$，-y）•（2$\sqrt{2}$-x，-y）＜0，
即x²+y²-8＜0，
又x²-y²=4，
∴y²=x²-4，即有x²＜6，
解得-$\sqrt{6}$＜x＜$\sqrt{6}$，
又x＞2或x＜-2，
可得x∈（-$\sqrt{6}$，-2）∪（2，$\sqrt{6}$）．
故答案为：（-$\sqrt{6}$，-2）∪（2，$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查双曲线的标准方程及向量知识，解题时要能熟练运用双曲线的方程和范围，考查运算能力，属于中档题．