Question

2．直线l：y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1仅有一个公共点，则k=±1，±$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（1-k²）x²-2kx-2=0．分类讨论：当1-k²=0时，可得k=±1，此时直线l与等轴双曲线的渐近线，满足题意；当1-k²≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=0，解出即可．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为（1-k²）x²-2kx-2=0．
①当1-k²=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，
分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，
此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当1-k²≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，
可得△=4k²+8（1-k²）=0，
解得k=±$\sqrt{2}$．此时满足条件．
综上可得：k=±1，±$\sqrt{2}$．
故答案为：±1，±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题．