题目内容
如图，圆内接四边形ABCD的对角线BD上有一点E，满足∠BAE=∠CAD．（Ⅰ）求证：△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC；
（Ⅱ）若AB=5，BC=5，CD=3，DA=5.5，AC=6.5，求BD的长．
考点：与圆有关的比例线段,相似三角形的判定
专题：选作题,立体几何
分析：（Ⅰ）利用对应角相等，证明：△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC；
（Ⅱ）由△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC，可得BE=
，ED=
，两式相加可得BD．
（Ⅱ）由△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC，可得BE=
| AB•CD |
| AC |
| AD•BC |
| AC |
解答：
（Ⅰ）证明：∵∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAE=∠CAD
∴△AEB∽△ACD；
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC=∠EAD，
∴△AED∽△ABC；
（Ⅱ）解：∵△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC，
∴
=
，
=
，
∴BE=
，ED=
，
两式相加可得BD=
+
=
=
．
∴△AEB∽△ACD；
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC=∠EAD，
∴△AED∽△ABC；
（Ⅱ）解：∵△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC，
∴
| AB |
| AC |
| BE |
| CD |
| AD |
| AC |
| ED |
| BC |
∴BE=
| AB•CD |
| AC |
| AD•BC |
| AC |
两式相加可得BD=
| AB•CD |
| AC |
| AD•BC |
| AC |
| 8.5 |
| 13 |
| 17 |
| 26 |
点评：本题考查三角形的相似的证明，考查性质的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
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