Question

已知函数，（其中）．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

（Ⅰ）极小值为，无极大值（Ⅱ）（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．设，得在上单调递增，在上单调递减．∴，
∵=，∴，∴，故当时，

试题分析：（Ⅰ），
∴（，），
由，得，由，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值．  4分
（Ⅱ）函数，
则，
令，∵，解得，或（舍去），
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
函数在区间内有两个零点，
只需即∴
故实数a的取值范围是．   9分
（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．
设，得在上单调递增，在上单调递减．
∴，
∵=，
∴，∴，故当时，．  14分
点评：求函数极值最值都需要首先找到函数的单调区间，第二问将函数存在零点转化为最值边界值的范围，第三问将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，这两种转化是函数综合题中经常考到的