Question

9．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数f′（x），判断导数f′（x）的符号即可；
（Ⅱ）由g（x）在其定义域内为增函数，知对?x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分离出参数a后转化为求函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，…1分
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．…4分
（Ⅱ）g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，g（x）的定义域为（0，+∞），
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-5x+a}{{x}^{2}}$…5分
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以?x∈（0，+∞），g（x）≥0，
即ax2-5x+a≥0，则a≥$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$，
而$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{5}{2}$，当且仅当x=1时取等号，所以a≥$\frac{5}{2}$…8分．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题，导数的符号决定函数的增减．