Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=$\sqrt{2}$．
（1）若b，c是方程x²-$\sqrt{5}$x+1=0的两根，求△ABC的面积；
（2）若△ABC是锐角三角形，且B=2A，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和韦达定理求出b+c、bc，由余弦定理求出cosA，根据A的范围和特殊角的三角函数值求出A，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；
（2）由内角和定理b和条件表示出C，根据锐角的范围列出不等式求出A的取值范围，由正弦定理表示出b，根据余弦函数的性质求出b的取值范围．

解答 解：（1）∵b，c是方程x²-$\sqrt{5}$x+1=0的两根，
∴b+c=$\sqrt{5}$，bc=1，
又a=$\sqrt{2}$，由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{{（b+c）}^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{5-2-2}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）∵△ABC是锐角三角形，且B=2A，
∴C=π-B-A=π-3A，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{4}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，则$\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{b}{sin2A}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{b}{2sinAcosA}$，得b=$2\sqrt{2}$cosA，
由$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{4}$得，$cosA∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴b=2$\sqrt{2}$cosA的取值范围是$（2，\sqrt{6}）$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，韦达定理，以及余弦函数的性质的应用，属于中档题．