Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值点．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出切线的斜率，切点坐标，由f′（1）=-1求出a，由f（1）=2，求出b．
（2）写出f（x）的表达式，求出导数，求出单调区间，列表，即可得到极值．

解答 解：（1）由题意，f′（x）=x²-2ax+a²-1．                     
又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
∴切线的斜率为-1，即 f′（1）=-1，∴a²-2a+1=0，
解得a=1．                                                  
又点（1，f（1））在直线x+y-3=0上，∴f（1）=2，
同时点（1，2）在y=f（x）上，∴2=$\frac{1}{3}$-a+（a²-1）+b，
即2=$\frac{1}{3}$-1+（1-1）+b，解得：b=$\frac{8}{3}$，
∴a=1，b=$\frac{8}{3}$．                                                       
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+$\frac{8}{3}$，∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，所以有x、f′（x）、f（x）的变化情况表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由上表可知，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；
∴函数f（x）的极大值点是x=0，极小值点是x=2．

点评 本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、求极值，考查运算能力，属于中档题．