题目内容
14．已知函数f（x）=ax3+2x-a，（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若a=n，且n∈N*，设xn是函数${f_n}（x）=n{x^3}+2x-n$的零点，证明：当n≥2时存在唯一xn，且${x_n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$．
分析 （1）对f（x）求导得到单调区间；（2）由（1）得，fn（x）=nx3+2x-n在R上单调递增，证明fn（$\frac{n}{n+1}$）=-（$\frac{n}{n+1}$）3（ $\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}$）即可．
解答 解：（1）f′（x）=3ax2+2，
若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴x＞$\sqrt{\frac{2}{3a}}$或x＜-$\sqrt{\frac{2}{3a}}$，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，$\sqrt{\frac{2}{3a}}$）和（$\sqrt{\frac{2}{3a}}$，+∞）；
（2）证明：由（1）得，fn（x）=nx3+2x-n在R上单调递增，
又fn（1）=n+2-n=2＞0，
fn（2）=n23+2×2-n=8n+4-n=7n+4＞0，
fn（$\frac{n}{n+1}$）=n（$\frac{n}{n+1}$）3+2（$\frac{n}{n+1}$）-n=-（$\frac{n}{n+1}$）3（ $\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}$），
当n≥2时，g（n）=n2-n-1＞0，fn（$\frac{n}{n+1}$）＜0，
n≥2时存在唯一xn且xn∈（$\frac{n}{n+1}$，1）．
点评 本题主要考查了导数的求单调区间的方法以及函数的零点问题，是一道中档题．
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4．设a=log3.14π，b=log${\;}_{\frac{1}{3.14}}$（${π}^{\frac{1}{2006}}$），c=${π}^{-\frac{1}{2006}}$，则（ ）
| A． | a＞b＞c | B． | a＞c＞b | C． | b＞a＞c | D． | c＞b＞a |
如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，则函数y=f（x）的单调递增区间为（-2，2），（4，+∞）．