Question

已知函数f（x）=e^x（其中e为自然对数的底数），g（x）=

n

2

x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1-

n

2

，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；
（3）若m=-

15

2

，n∈N^*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e²＜

15

2

]．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）T（x）=f（x）g（x）=e^x（

n

2

x+m）=e^x（

n

2

x+1-

n

2

）；求导T′（x）=e^x（

n

2

x+1）；从而确定函数的最大值；
（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e^x-2x；求导m′=e^x-2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；
（3）由题意，f（x）=e^x，g（x）=

n

2

x-

15

2

；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）-g（x）=e^x-

n

2

x+

15

2

＞0恒成立；从而化为最值问题．

解答： 解：（1）T（x）=f（x）g（x）
=e^x（

n

2

x+m）=e^x（

n

2

x+1-

n

2

）；
故T′（x）=e^x（

n

2

x+1）；
则当n≥-2时，T′（x）≥0；
故T（x）在[0，1]上的最大值为
T（1）=e（

n

2

+1）；
当n＜-2时，x∈[0，-

2

n

）时，T′（x）＞0；
x∈（-

2

n

，1]时，T′（x）＜0；
T（x）在[0，1]上的最大值为T（-

2

n

）=0；
（2）当n=4时，方程f（x）=g（x）可化为
m=e^x-2x；
m′=e^x-2，
故当x∈[0，ln2）时，m′＜0；
当x∈（ln2，2]时，m′＞0；
m（ln2）=2-2ln2；
m（0）=1，m（2）=e²-4；
故由题意知，
2-2ln＜m≤1；
（3）由题意，f（x）=e^x，g（x）=

n

2

x-

15

2

；
故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为
F（x）=f（x）-g（x）=e^x-

n

2

x+

15

2

＞0恒成立；
F′（x）=e^x-

n

2

；
故F（x）在（-∞，ln

n

2

）上是减函数，
在（ln

n

2

，+∞）上是增函数；
故可化为F（ln

n

2

）＞0；
即

n

2

（1-ln

n

2

）+

15

2

＞0；
令G（n）=

n

2

（1-ln

n

2

）+

15

2

；
故G′（n）=-

1

2

（ln

n

2

+1）＜0；
故G（n）=

n

2

（1-ln

n

2

）+

15

2

是[1，+∞）上的减函数，
而G（2e²）=-e²+

15

2

＞0；
G（14）=7（1-ln7）+

15

2

＞0；
G（15）=7.5（1-ln7.5）+

15

2

＜0；
故最大正整数n为14．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．