Question

已知函数f（x）=sinxcosx-m（sinx+cosx） 
（1）若m=1，求函数在（0，

π

2

）上的单调区间；
（2）若函数在区间（

π

2

，π）上是单调递减函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）m=1时，令sinx+cosx=t，可得f（t）=

1

2

（t-1）²-

3

2

，从而有

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，可解得单调递增区间[2kπ，2kπ+

π

2

]，k∈Z．
（2）令sinx+cosx=t，有f（t）=

1

2

（t-m）²-

1

2

-

m2

2

，当t=m时，函数取得最小值，t∈（-∞，m）函数是减函数．由

2

sin（

π

2

+

π

4

）=1，

2

sin（π+

π

4

）=-1，可得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-m（sinx+cosx），
∴m=1时，f（x）=sinxcosx-（sinx+cosx），
令sinx+cosx=t，
t∈[-

2

，

2

]，则sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（t）=

t2-1

2

-t=

1

2

（t²-2t）-

1

2

=

1

2

（t-1）²-1，
那么当t=1，y取得最小值=-1，
当t=-

2

，y取得最大值

1

2

+

2

，
∴t∈[1，

2

]上时单调递增．t∈[-

2

，1]上时单调递减，
∴1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，有

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
∴可解得2kπ≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
∴单调递增区间[2kπ，2kπ+

π

4

]，k∈Z在[0，

π

4

]上单调递增．
（2）令sinx+cosx=t，
t∈[-

2

，

2

]，则sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（t）=

t2-1

2

-mt=

1

2

（t²-2mt）-

1

2

=

1

2

（t-m）²-

1

2

-

m2

2

，
当t=m，m∈[-

2

，

2

]时，函数取得最小值，t∈（-

2

，m）函数是减函数．

sin π 2 cos π 2 -m(sin π 2 +cos π 2 )≤

x∈（

π

2

，π）时，函数是减函数，sinπcosπ-m(sinπ+cosπ)≥-

1

2

-

m2

2

，
∴m∈R．可得m∈[-

2

，

2

]．
当|m|＞

2

时，t=±

2

，函数取得最小值，可得：x=

π

4

，或x=

5π

4

不满足题意．
综上：m∈[-

2

，

2

]．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，函数值域的求法，考察了转化思想，属于中档题．