题目内容

定义函数f（x）=
4-8|x-
3
2
|		;1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)		;x＞2
，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，8]内的所有零点的和为
 
．
考点：根的存在性及根的个数判断
专题：计算题,作图题,函数的性质及应用
分析：由题意，f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
2-2|x-3|，2＜x≤4
1-|
x
2
-3|，4＜x≤8
；从而可得函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，8]内的所有零点y=f（x）与y=
6
x
的交点的横坐标，作图求解．
解答： 解：由题意，
当2＜x≤4时，f（x）=
1
2
f（
x
2
）=2-4|
x
2
-
3
2
|
=2-2|x-3|；
当4＜x≤8时，f（x）=
1
2
f（
x
2
）=1-|
x
2
-3|；
故f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
2-2|x-3|，2＜x≤4
1-|
x
2
-3|，4＜x≤8
；
函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，8]内的所有零点即
xf（x）-6=0在区间[1，8]内的所有解；
即y=f（x）与y=
6
x
的交点的横坐标，
作y=f（x）与y=
6
x
的图象如下，

故所有的零点为
3
2
，3，6；
3
2
+3+6=10.5；
故答案为：10.5．
点评：本题考查了学生的作图能力及绝对值函数的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
利用分析法或综合法证明：当x＞0时，sinx＜x．
已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）=
n
2
x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1-
n
2
，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；
（3）若m=-
15
2
，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜
15
2
]．
一个正三棱柱的正视图是正方形，且它的外接球的表面积等于
25π
3
，则这个正三棱柱的底面边长为（　　）
A、
5
7
7
B、
4
7
C、
7
5
5
D、
4
5
设函数f（x）=|x+2|-|x-2|
（I）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|-|x-2|≤
1
y
+
1
1-y
．
求经过点P（-2，3），且满足下列条件的直线方程：
（1）在x轴，y轴上的截距之和等于6；
（2）在x轴，y轴上的截距之和分别为a，b，且b=2a．
数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1=1，an+1=
1
3
Sn（n≥1），则a7=
 
．
已知|
a
|=3，|
b
|=4，且满足（2
a
-
b
）（
a
+2
b
）≥4，求
a
与
b
的夹角β的范围．
点A（3，
327
），B（-8，-2）分别在幂函数y=f（x）和y=g（x）的图象上，且f（x）＜g（x），求实数x的取值范围．

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