Question

9．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}y≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$，则$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围为[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 ①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数z=$\frac{y-1}{x+1}$，表示动点P（x，y）与定点M（-1，1）连线斜率③过M做直线与可行域相交可计算出直线PM斜率，从而得出所求目标函数范围．

解答 解：画出约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$，的可行域，如图：
目标函数z=$\frac{y-1}{x+1}$，表示动点P（x，y）与定点M（-1，1）连线斜率，
由图可知，当点P在A点处时，k 最大，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$，
解得A（3，3），则$\frac{y-1}{x+1}$的最大值为：$\frac{3-1}{3+1}$=$\frac{1}{2}$；
当点P在O点处时，k 最小，最小值为：-1；
∴则$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}$]
故答案为：[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．