Question

13．在研究塞卡病毒（Zika virus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z症状的情况，做接种试验．试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现Z症状的概率为$\frac{1}{4}$，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．
（Ⅰ）若出现Z症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；
（Ⅱ）若在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期．设接种试验持续的接种周期数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出试验至多持续一个接种周期的概率．
（Ⅱ）随机变量ξ=1，2，3，设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）试验至多持续一个接种周期的概率：
${P_1}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+\frac{9}{64}=\frac{37}{64}$．（5分）
（Ⅱ）随机变量ξ=1，2，3，设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”，
$\begin{array}{l}P（ξ=1）=P（C）=C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}+C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{5}{32}，\\ P（ξ=2）=[1-P（C）]×P（C）=（1-\frac{5}{32}）×\frac{5}{32}=\frac{135}{1024}，\\ P（ξ=3）=[1-P（C）]×[1-P（C）]×1=\frac{729}{1024}，…（9分）\end{array}$
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{5}{32}$	$\frac{135}{1024}$	$\frac{729}{1024}$

（10分）
ξ的数学期望$Eξ=1×\frac{5}{32}+2×\frac{135}{1024}+3×\frac{729}{1024}=\frac{2617}{1024}．…（12分）$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．