Question

17．如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2
（I）证明：BC₁∥平面A₁CD
（II）求直线EC₁与面A₁DC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC₁交A₁C于点F，连接DF，则BC₁∥DF．由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．利用向量法能求出直线EC₁与面A₁DC所成角的正弦值．

解答 （ I）证明：连接AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁中点．
又D是AB中点，联结DF，则BC₁∥DF．
因为DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（II）解：由AC=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB得，AC⊥BC．
以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．CA=2，
则D（1，1，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{CA1}$=（2，0，2）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁CD的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{E{C}_{1}}$=（0，-2，1），
所以sinθ=|$\frac{2-1}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．