Question

20．设f'（x）是函数f（x）在R的导函数，对?x∈R，f（-x）+f（x）=x²，且?x∈[0，+∞），f'（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数a的取值范围为（-∞，1]．

Answer 1

分析 可构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范围．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，
∴f（x）-$\frac{1}{2}$x² +f（-x）-$\frac{1}{2}$x² =0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）在（-∞，0）上也是增函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等价于f（2-a）-$\frac{（2-a）^{2}}{2}$≥f（a）-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即g（2-a）≥g（a），
∴2-a≥a，解得a≤1．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造出关于a的不等式求解的思路，本题的关键是由已知条件构造出关于函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，然后结合其奇偶性解题是本题的关键．