Question

2．已知幂函数f（x）=（m-1）²x${\;}^{{m}^{2}-3m+2}$在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x+k，当x∈（1，2]时，记f（x）和g（x）的值域分别为A和B，若B⊆A∩B，则实数k的取值范围是[-1，0]．

Answer 1

分析 根据幂函数的定义和性质先求出m，结合集合的关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是幂函数，
∴（m-1）²=1，
解得m=2或m=0，
若m=2，则f（x）=x⁰，在（0，+∞）上不单调递减，不满足条件；
若m=0，则f（x）=x²，在（0，+∞）上单调递增，满足条件；
即f（x）=x²；
当x∈（1，2]时，f（x）∈（1，4]，即A=（1，4]，
当x∈（1，2]时，g（x）∈（2+k，4+k]，即B=（2+k，4+k]，
∵B⊆A∩B，∴B⊆A，
则$\left\{\begin{array}{l}{2+k≥1}\\{4+k≤4}\end{array}\right.$，
解得-1≤k≤0，
即实数k的取值范围是[-1，0]．
故答案为：[-1，0]．

点评 本题主要考查幂函数性质和定义的应用，函数值域的计算以及集合关系的应用，是综合性题目．