Question

13．式子$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 当ab同号时，由基本不等式可得最小值，当ab异号时，由基本不等式可得最大值，综合可得．

解答 解：当ab同号时，$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{a}$均为正数，
∴由基本不等式可得$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=2，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a}$即a=b时取等号；
当ab异号时，$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{a}$均为负数，
∴由基本不等式可得$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$≤-2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=-2，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a}$即a=-b时取等号．
综合可得所求取值范围为：（-∞，-2]∪[2，+∞）
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及分类讨论的思想，属基础题．