Question

4．已知函数f（x）=$\frac{2ax}{2x+1}$-ln（2x+1）（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=e时，若函数y=f（x）-k在x∈[0，1]上有唯一零点，求实数k的取值范围；
（3）求证：ln$\frac{{e}^{2}}{2x+1}$≤$\frac{e}{2x+1}$．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=e时，确定x=$\frac{e-1}{2}$，f（x）取得最大值e-2，f（0）=0，f（1）=$\frac{2e}{3}$-ln3，即可求实数k的取值范围；
（3）利用分析法，证明ln（2x+1）+$\frac{e}{2x+1}$的最小值为2．

解答 解：（1）函数的定义域为（-$\frac{1}{2}$，+∞）．
∵f（x）=$\frac{2ax}{2x+1}$-ln（2x+1），
∴f′（x）=$\frac{2[a-（2x+1）]}{（2x+1）^{2}}$，
∴a＜0，f′（x）＜0，函数在（-$\frac{1}{2}$，+∞）单调递减，
a＞0，a＞2x+1，即-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{a-1}{2}$，f′（x）＞0，函数在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{a-1}{2}$）单调递增，
a＜2x+1，即x＞$\frac{a-1}{2}$，f′（x）＜0，函数在（$\frac{a-1}{2}$，+∞）单调递减，
（2）当a=e时，由（1）知，函数在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{e-1}{2}$）单调递增，在（$\frac{e-1}{2}$，+∞）单调递减，
∴x=$\frac{e-1}{2}$，f（x）取得最大值e-2，
∵f（0）=0，f（1）=$\frac{2e}{3}$-ln3
∴0≤k＜$\frac{2e}{3}$-ln3或k=e-2时，函数y=f（x）-k在x∈[0，1]上有唯一零点；
（3）要证明ln$\frac{{e}^{2}}{2x+1}$≤$\frac{e}{2x+1}$，
只要证明ln（2x+1）+$\frac{e}{2x+1}$≥2，
只要证明ln（2x+1）+$\frac{e}{2x+1}$的最小值为2，
设h（x）=ln（2x+1）+$\frac{e}{2x+1}$，h′（x）=$\frac{2[（2x+1）-e]}{（2x+1）^{2}}$，
函数在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{e-1}{2}$）单调递减，在（$\frac{e-1}{2}$，+∞）单调递增，
∴x=$\frac{e-1}{2}$，h（x）取得最小值2，
∴ln（2x+1）+$\frac{e}{2x+1}$的最小值为2，
∴ln$\frac{{e}^{2}}{2x+1}$≤$\frac{e}{2x+1}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．