题目内容
8．已知函数f（x）=-x+log2$\frac{1-x}{1+x}$．（1）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值；
（2）当x∈（-a，a]．其中a∈（0，1），a是常数时，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据函数奇偶性的定义，可证出f（x）是定义在（-1，1）的奇函数，由此可得f（ $\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值等于0；
（2）设-1＜x1＜x2＜1，利用作差、因式分解、判断符号的方法，证出f（x）为（-1，1）上的减函数．因此，当a∈（0，1），且a为常数时，f（x）在区间（-a，a]的最小值为f（a）=-a+log2$\frac{1-a}{1+a}$．
解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，得-1＜x＜1，可得函数的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=-（-x）+log2$\frac{1-x}{1+x}$=x-log2$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x）
∴f（x）是定义在（-1，1）的奇函数
因此，f（-$\frac{1}{2015}$）=-f（$\frac{1}{2015}$），可得f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值等于0；
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
∵f（x1）-f（x2）=-x1+log2$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-（-x2+log2$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$）=（x2-x1）+log2$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$
且x2-x1＞0，$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=$\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{1}}{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1
∴log2$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞0，可得f（x1）-f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2）
由此可得f（x）为（-1，1）上的减函数，
∴当x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，函数有最小值为f（a）=-a+log2$\frac{1-a}{1+a}$
点评 本题给出含有对数符号的基本初等函数，求特殊的函数值并讨论函数在区间（-a，a]上的最小值，着重考查了函数的奇偶性、单调性及其应用的知识点，属于中档题．
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