Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且c=

2

b．过点P作两条互相垂直的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于另两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l₁的斜率为-1，求△PMN的面积；
（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

1

a2

+

1

b2

=1，且c²=2b²，由此能求出椭圆方程．
（2）设l₁方程为y+1=k（x+1），联立

y=kx+k-1 x2+3y2=4

，得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．由此能求出△PMN的面积．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用点差法能求出直线MN的方程为x+y=0或x=-

1

2

．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）因为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（-1，-1），
c为椭圆的半焦距，且c=

2

b，
所以

1

a2

+

1

b2

=1，且c²=2b²，
所以a²=3b²，解得b²=

4

3

，a²=4．
所以椭圆方程为：

x2

4

+

3y2

4

=1．…（3分）
（2）设l₁方程为y+1=k（x+1），
联立

y=kx+k-1 x2+3y2=4

，
消去y得（1+3k²）x²+6k（k-1）x+3（k-1）²-4=0．
因为P为（-1，-1），解得M（

-3k2+6k+1

1+3k2

，

3k2+2k-1

1+3k2

）．…（5分）
当k≠0时，用-

1

k

代替k，得N（

k2-6k-3

k2+3

，

-k2-2k+3

k2+3

）． …（7分）
将k=-1代入，得M（-2，0），N（1，1）．
因为P（-1，-1），所以PM=

2

，PN=2

2

，
所以△PMN的面积为

1

2

×

2

×2

2

=2．             …（9分）
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

x12+3y12=4 x22+3y22=4

，
两式相减得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因为线段MN的中点在x轴上，
所以y₁+y₂=0，从而可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0．…（12分）
若x₁+x₂=0，则N（-x₁，-y₁）．
因为PM⊥PN，所以

PM

•

PN

=0，得x₁²+y₁²=2．
又因为x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=±1，
所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．
所以直线MN的方程为y=-x．…（14分）
若x₁-x₂=0，则N（x₁，-y₁），
因为PM⊥PN，所以

PM

•

PN

=0，得y₁²=（x₁+1）²+1．
又因为x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=-

1

2

或-1，
经检验：x=-

1

2

满足条件，x=-1不满足条件．
综上，直线MN的方程为x+y=0或x=-

1

2

．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．