Question

16．已知函数f（x）=log₂（mx²-x+$\frac{1}{16}$m），g（x）=（$\frac{1}{8}$）^x
（1）若函数y=f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若对于?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）的定义域为R，mx²-x+$\frac{1}{16}$m＞0恒成立，分类讨论，利用判别式，即可求实数m的取值范围；
（2）?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），f（x₁）＞g（x）_min，进一步可得mx²-x+$\frac{1}{16}$m-2＞0恒成立，即可得出结论．

解答 解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为R，
∴mx²-x+$\frac{1}{16}$m＞0恒成立，
m=0时，不满足；
m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=1-\frac{1}{4}{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，∴m＞2，
综上所述，m＞2；
（2）∵?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0]，使得f（x₁）＞g（x₂），
∴f（x₁）＞g（x）_min，
∵g（x）=（$\frac{1}{8}$）^x，x₂∈（-∞，0]，
∴当且仅当x=0时，g（x）_min=1，
∴log₂（mx²-x+$\frac{1}{16}$m）＞1恒成立，
∴mx²-x+$\frac{1}{16}$m-2＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=1-\frac{1}{4}{m}^{2}+8m＜0}\end{array}\right.$，
解得m＞-16+2$\sqrt{65}$．

点评 本题考查对数函数的定义域与值域，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．