一个口袋中装有大小相同的n个红球和5个白球.一次摸奖从中摸出两个球.两个球的颜色不同则为中奖．(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率p,(2)记从口袋中三次摸奖恰有一次中奖的概率为m.求m的最大值,条件下将5个白球全部取出后.对剩下的n个红球全部作如下标记.记上i号的球有i个.其余的红球记上0号.现从袋中任取一球.用ζ表示所取球的标号．求ζ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5，n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸出两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
（1）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（2）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰有一次中奖的概率为m，求m的最大值；
（3）在（2）条件下将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记，记上i号的球有i个（i=1，2，3，4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球，用ζ表示所取球的标号．求ζ的分布列、期望和方差．

分析（1）直接利用古典概型概率的求法，用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（2）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰有一次中奖的概率为m，列出方程即可求m的最大值；
（3）在（2）条件下将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记，ζ表示所取球的标号，求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差．

解答（12分）
解（1）$p=\frac{c_n^1c_5^1}{{c_{n+5}^2}}=\frac{10n}{（n+5）（n+4）}$
（2）设每次中奖的概率为p，三次摸奖恰有一次中奖的概率是：$m={p_3}（1）=c_3^1p{（1-p）^2}=\frac{3}{2}2p（1-p）（1-p）≤\frac{3}{2}{（\frac{2p+1-p+1-p}{3}）^3}=\frac{4}{9}$
当且仅当2p=1-p即$p=\frac{1}{3}$时，m取得最大值$\frac{4}{9}$．
当$p=\frac{1}{3}$时，$\frac{10n}{{{n^2}+9n+20}}=\frac{1}{3}⇒n=20$
（3）ζ的值分别为：0，1，2，3，4．记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是

ζ	0	1	2	3	4
p	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{2}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{4}{20}$

Eξ=0×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{20}$+2×$\frac{2}{20}$+3×$\frac{3}{20}$+4×$\frac{4}{20}$=$\frac{3}{2}$
Dξ=（0-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{1}{20}$+（2-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{2}{20}$+（3-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{3}{20}$+（4-$\frac{3}{2}$）²×$\frac{4}{20}$=$\frac{11}{4}$

点评本小题主要考查函数单调性的应用、等可能事件的概率、离散型随机变量的期望与方差等基础知识，求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1．③求出期望．