Question

设函数f(x)＝ x³－mx²＋(m²－4)x，x∈R．
（1）当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的
x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1) 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

见解析

解：(1)当m＝3时，f(x)＝ x³－3x²＋5x，f ′ (x)＝x²－6x＋5．
因为f(2)＝ ，f ′ (2)＝－3，所以切点坐标为（2，）， 切线的斜率为－3．
则所求的切线方程为y－ ＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0．
（2）解法一：f ′ (x)＝x²－2mx＋(m²－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2．
当x∈（－∞，m－2）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函数；
当x∈（m－2，m＋2）时，f ′ (x)＜0，f(x)在（m－2，m＋2）上是减函数；
当x∈（m＋2，＋∞）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函数．
因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝x[x²－3mx＋3(m²－4)]，
所以解得m∈(－4，－2)∪(－2，2)∪(2，4)．
当m∈(－4，－2)时，m－2＜m＋2＜0，所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0．
此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去；
当m∈(－2，2)时，m－2＜0＜m＋2，所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值．
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1；
当m∈(2，4)时，0＜m－2＜m＋2，所以0<α＜m－2＜m＋2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值．
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1 (舍去)．
综上可知，m的取值范围是{－1}．
解法二：f ′ (x)＝x²－2mx＋(m²－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2．
所以，当x∈（－∞，m－2）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函数；
当x∈(m－2，m＋2)时，f ′ (x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是减函数；
当x∈（m＋2，＋∞）时，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函数．…9分
当α＜β＜0时，必有α＜m－2＜β＜m＋2＜0，则当x∈[α，β]时，f(x)的最小值是f(α)＝0．
此时f(1)＞f(0)＝0＝f(α)，与题意不合，故舍去；
当α＜0＜β时，则有α＜m－2＜0＜m＋2＜β，此时3(m²－4)＜0，即－2＜m＜2．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值．
又函数f(x)在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f′(1)＝0，得m＝3（舍去）或m＝－1；
当0＜α＜β时，则有0＜α＜m－2＜m＋2＜β，此时
解得m∈(2，4)．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值．
又函数f(x)在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f ′(1)＝0，得m＝3或m＝－1（舍去）．
又因为当m＝3时，f(1)为极大值，与题意不合，故舍去．
综上可知，m的取值范围是{－1}．