Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{7}{8}$，且a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$，n∈N^*．
（1）求证：{a_n-$\frac{2}{3}$}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）对a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$进行变形处理得到：a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），根据等比数列的性质证得结论；
（2）根据{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列来推知数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：由已知得：a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
因为a₁=$\frac{7}{8}$，
所以a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$，
所以{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
所以a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
所以a_n=$\frac{5}{24}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1+$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查构造法证明等比数列，考查数列的通项，解题的关键是构造法证明等比数列．