Question

16．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）解不等式${log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）＞{log_{\frac{1}{2}}}（{a-x}）$；
（3）求函数g（x）=|log_ax-1|的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出a的值即可；
（2）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；
（3）求出g（x）的分段函数的形式，从而求出函数的单调区即可．

解答 解：（1）∵log_a3＞log_a2，∴a＞1，
又∵y=log_ax在[a，2a]上为增函数，
∴log_a2a-log_aa=1，即log_a2=1，∴a=2．
（2）依题意可知$\left\{\begin{array}{l}x-1＜2-x\\ x-1＞0\end{array}\right.$
解得$1＜x＜\frac{3}{2}$，∴所求不等式的解集为$（{1，\frac{3}{2}}）$．
（3）∵g（x）=|log₂x-1|，∴g（x）≥0，当且仅当x=2时，g（x）=0．
则$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{log_2}x，0＜x≤2\\{log_2}x-1，x＞2\end{array}\right.$
∴函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
g（x）的减区间为（0，2），增区间为（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道中档题．