题目内容
9．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附临界值表：
| P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.897 | 10.828 |
关于商品和服务评价的2×2列联表：
| 对服务好评 | 对服务不满意 | 合计 | |
| 对商品好评 | a=80 | b=40 | 120 |
| 对商品不满意 | c=70 | d=10 | 80 |
| 合计 | 150 | 50 | n=200 |
分析 （Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；
（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．
解答 解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
| 对服务好评 | 对服务不满意 | 合计 | |
| 对商品好评 | 80 | 40 | 120 |
| 对商品不满意 | 70 | 10 | 80 |
| 合计 | 150 | 50 | 200 |
K2=$\frac{200×（80×10-40×70）^{2}}{150×50×120×80}$≈11.111＞10.828 …4分
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…5分
（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．
其中P（X=0）=0.63=$\frac{27}{125}$； P（X=1）=C31•0.4•0.62=$\frac{54}{125}$；…7分
P（X=2）=C32•0.42•0.6=$\frac{36}{125}$； P（X=3）=C33•0.43=$\frac{8}{125}$．…9分
X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{27}{125}$ | $\frac{54}{125}$ | $\frac{36}{125}$ | $\frac{8}{125}$ |
②由于X～B（3，0.4），则E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分．
点评 本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．
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