Question

1．将椭圆x²+$\frac{y^2}{4}$=1上每一点的横坐标不变纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到曲线C．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）设点D在曲线C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，求D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求出曲线C的方程为x²+y²=1，即可写出曲线C的参数方程；
（2）令参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α为参数）$中α=$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$，得D的坐标．

解答 解：（1）设（x₁，y₁）为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点（x，y），
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y=\frac{1}{2}{y_1}\end{array}\right.$．
由${x_1}^2+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$得${x^2}+\frac{{{{（2y）}^2}}}{4}=1$，即曲线C的方程为x²+y²=1
故C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α为参数）$；
（2）因为D处的切线与l垂直，因此OD平行于l，
因此令参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α为参数）$中α=$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$，
得$D（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$或$D（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．

点评 本题考查考查代入法求轨迹方程，考查圆的参数方程及其运用，属于中档题．