Question

16．设f（n）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，由f（1）=1＞$\frac{1}{2}$，f（3）＞1，f（7）＞$\frac{3}{2}$，f（15）＞2，…
（1）你能得到怎样的结论？并证明；
（2）是否存在正数T，使对任意的正整数n，有f（n）＜T成立？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$．利用数学归纳法进行证明；
（2）由（1）可知f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$，即可得出结论．

解答 解：（1）由f（1）=1＞$\frac{1}{2}$，f（3）＞1，f（7）＞$\frac{3}{2}$，f（15）＞2，可得f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$．
证明如下：①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时成立，即 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＞$\frac{k}{2}$．
当n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
＞$\frac{k+1}{2}$=右边．
即当n=k+1时，结论也成立．
由①②知，f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$；
（2）由（1）可知f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$，所以不存在正数T，使对任意的正整数n，有f（n）＜T成立．

点评 本题考查归纳推理，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．