Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）函数f（x）=cos2x+4cosAsinx，求当x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时，此函数的值域．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质可得：1=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$sin（A-\frac{π}{6}）$，A为锐角．可得$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$．解得A．
（2）利用倍角公式可得：f（x）=-2$（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，当x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时，sinx∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．函数f（x）在x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时单调递减．即可得出．

解答 解：（1）∵1=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinA$-cosA=2$sin（A-\frac{π}{6}）$，A为锐角．
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$．解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2$（sinx-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，
当x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时，sinx∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
∴函数f（x）在x$∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时单调递减．
∴当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{2}$．
当sinx=1，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值1．
∴此函数的值域为$[1，\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、三角函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．