Question

18．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A，B两种规格的金属板，每张面积分别为2m²、3m²，用A种金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格的金属板各取多少张（取整数）时，能完成计划并使总的用料面积最省？并求出最省用料．

Answer 1

分析 设A、B两种金属板各取x，y张，用料面积为zm²，建立约束条件和目标函数，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解．

解答 解：设A、B两种金属板各取x，y张，用料面积为zm²，…（1分）
则$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y≥45}\\{5x+6y≥50}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，…（4分）
目标函数z=2x+3y，…（5分）
可行域如右图．…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y-45=0}\\{5x+6y-50=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{25}{4}}\end{array}\right.$．…（8分）
所以直线3x+6y-45=0与直线5x+6y-50=0的交点为M（$2\frac{1}{2}$，$6\frac{1}{4}$）．…（10分）
而当动直线y=$-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，经过点M时，z=2x+3y取最小值，由于M（$2\frac{1}{2}$，$6\frac{1}{4}$）坐标不是整数，在可行域找到点n（3，6）符合要求，…（12分）
此时z_min=2×3+3×6=24．…（13分）
故A，B两种金属板各取3张、6张时，能完成计划并能使总用料面积最省．…（14分）

点评 本题主要考查线性规划的应用问题，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．